양자 코호몰로지

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1. 개요
2. 노비코프 환
- 2.1. 정의
3. 양자 코호몰로지
- 3.1. 작은 양자 코호몰로지
- 3.2. 큰 양자 코호몰로지
4. 양자 코호몰로지의 성질
5. 예시
6. 응용
참조

1. 개요

양자 코호몰로지는 콤팩트 켈러 다양체의 코호몰로지 군을 변형하여 정의되는 환으로, 유사 정칙 곡선에 대한 정보를 담고 있다. 노비코프 환을 계수로 사용하는 이 환은 작은 양자 코호몰로지와 큰 양자 코호몰로지로 나뉜다. 작은 양자 코호몰로지는 그로모프-위튼 불변량을 통해 정의되며, 결합적이고 분배적이며, 컵 곱을 포함한다. 큰 양자 코호몰로지는 모든 n점 그로모프-위튼 불변량을 포함하여 더 많은 정보를 제공한다. 양자 코호몰로지는 위상 끈 이론의 A-모형과 B-모형 사이의 거울 대칭 연구에 중요한 역할을 한다.

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양자 코호몰로지
개요
분야	수학, 물리학
하위 분야	대수기하학, 끈 이론
상세 정보
유형	수학적 방법
관련 항목	코호몰로지 이론, 교차 이론, 거울 대칭, 그로모프-위튼 불변량
응용 분야	열거 기하학, 끈 이론

2. 노비코프 환

노비코프 환은 양자 코호몰로지의 계수로 사용되는 환으로, 다양체의 2차 호몰로지 정보를 포함한다. 노비코프 환은 일반적으로 ''X''의 2차 호몰로지에 대한 정보를 담고 있는 환을 선택하여 정의하는데, 이를 통해 양자 컵 곱이 ''X''의 유사 정칙 곡선에 대한 정보를 기록할 수 있도록 한다.

예를 들어, 2차 호몰로지 몫군 모듈로의 꼬임 부분군을 다음과 같이 정의하고,

: $H_2(X) = H_2(X, \mathbf{Z}) / \mathrm{torsion}$

''R''을 단위를 갖는 임의의 가환환이라고 하고, Λ를 다음과 같은 형식적인 멱급수의 환이라고 하자.

: $\lambda = \sum_{A \in H_2(X)} \lambda_A e^A,$

여기서,

계수 $\lambda_A$ 는 ''R''에서 가져온다.
$e^A$ 는 $e^A e^B = e^{A + B}$ 의 관계를 만족하는 형식적인 변수이다.
모든 실수 ''C''에 대해, ω(''A'')가 ''C''보다 작거나 같은 유한 개의 ''A''만이 0이 아닌 계수 $\lambda_A$ 를 갖는다.

변수

e^A

는

2 c_1(A)

차수를 갖는 것으로 간주되며, 여기서

c_1

는 ω와 호환되는 임의의 개복소 구조를 선택하여 복소수 벡터번들로 간주되는 접다발 ''TX''의 첫 번째 천 클래스이다. 따라서 Λ는 ω에 대한 노비코프 환이라고 불리는 등급 환이다.

2. 1. 정의

M

이 콤팩트 켈러 다양체라고 하자. 격자

\operatorname H_2(M;\mathbb Z)/\operatorname{Tors}(\operatorname H_2(M;\mathbb Z))

의 기저

\{\alpha_i\}_{i=1,\dots,b_2(M)}

를

M

의 각 2차원 부분 다양체에 대응하게 잡는다.

M

의 '''노비코프 환'''(Novikov ring^영어)

\Lambda=\mathbb Z[q_i,q_i^{-1}]_{i=1,\dots,b_2(M)}

은 다음과 같은 생성원들로 생성되는 정수 계수 가환 형식적 멱급수환이다.

각 $i=1,\dots,b_2(M)$ 에 대하여, $q_i$ . 이들의 등급은 $\deg q_i=2c_1(M)(q_i)$ 이다.

임의의

\beta=\sum_ic_i\alpha_i\in\operatorname H_2(M;\mathbb Z)/\operatorname{Tors}(\operatorname H_2(M;\mathbb Z))

에 대하여,

q_\beta=\prod_iq_i^{c_i}

로 쓴다.

q_\alpha

대신

\exp(\alpha)

로 쓰기도 한다.

만약

M

이 칼라비-야우 다양체인 경우

c_1(M)=0

이므로 노비코프 환의 모든 원소들은 등급이 0이다.

양자 코호몰로지의 계수환은 다양하게 선택할 수 있다. 일반적으로 ''X''의 2차 호몰로지에 대한 정보를 인코딩하는 환을 선택한다. 이를 통해 아래에 정의된 양자 컵 곱이 ''X''의 유사 정칙 곡선에 대한 정보를 기록할 수 있다. 예를 들어,

:

H_2(X) = H_2(X, \mathbf{Z}) / \mathrm{torsion}

를 2차 호몰로지 모듈로의 꼬임이라고 하자. ''R''을 단위를 갖는 임의의 가환환이라고 하고, Λ를 다음과 같은 형식적인 멱급수의 환이라고 하자.

:

\lambda = \sum_{A \in H_2(X)} \lambda_A e^A,

여기서,

계수 $\lambda_A$ 는 ''R''에서 가져온다.
$e^A$ 는 $e^A e^B = e^{A + B}$ 의 관계를 만족하는 형식적인 변수이다.
모든 실수 ''C''에 대해, ω(''A'')가 ''C''보다 작거나 같은 유한 개의 ''A''만이 0이 아닌 계수 $\lambda_A$ 를 갖는다.

변수

e^A

는

2 c_1(A)

차수를 갖는 것으로 간주되며, 여기서

c_1

는 ω와 호환되는 임의의 almost complex 구조를 선택하여 복소수 벡터번들로 간주되는 접다발 ''TX''의 첫 번째 천 클래스이다. 따라서 Λ는 ω에 대한 '''노비코프 링'''이라고 불리는 등급 환이다.

3. 양자 코호몰로지

양자 코호몰로지는 콤팩트 켈러 다양체의 코호몰로지 환에 그로모프-위튼 불변량을 통해 정의되는 변형된 곱 구조를 갖는 환이다. 양자 코호몰로지는 작은 양자 코호몰로지와 큰 양자 코호몰로지로 나뉜다. 작은 양자 코호몰로지는 3점 그로모프-위튼 불변량에 대한 정보만 가지지만, 큰 양자 코호몰로지는 모든 (n ≧ 4) n점 그로모프-위튼 불변량에 대한 정보를 가진다.

3. 1. 작은 양자 코호몰로지

아벨 군으로서

\operatorname{QH}(M;\Lambda)=H(M;\Lambda)\otimes_{\mathbb Z}\Lambda

로 정의된다. 이 위에 정의된 곱

:

*\colon\operatorname{QH}(M;\Lambda)\times\operatorname{QH}(M;\Lambda)\to\operatorname{QH}(M;\Lambda)

은 코호몰로지의 합곱

\smile

과 다르며, 다음과 같이 그로모프-위튼 불변량으로 정의된다.

:

\int_M(a*b)\smile c =\sum_{\alpha\in\operatorname H_2(M;\mathbb Z)/\operatorname{Tors}(\operatorname H_2(M;\mathbb Z))}\operatorname{GW}_{0, 3}^{M, \alpha}(a, b, c)q_\alpha

이는 결합 법칙 및 등급 가환 법칙을 만족시키며, 등급을 덧셈법으로 보존한다.

:

(a*b)*c=a*(b*c)

:

a*b=(-1)^{\deg a\deg b}b*a

:

\deg(a*b)=\deg a+\deg b

M

위의 작은 양자 코호몰로지의 짝수 차수 성분

\operatorname{QM}^{2\bullet}(M)

에서, 0의 (충분히 작은) 근방

:

0\in U\subset\operatorname{QM}^{2\bullet}(M)

은 프로베니우스 다양체의 구조를 가진다. 이 경우 작은 양자 코호몰로지 곱

*

은

U

의 접다발

T

위의 접속을 이룬다. 작은 양자 코호몰로지 곱의 가환 법칙은 비틀림이 0임을, 결합 법칙은 리만 곡률이 0임을 뜻한다.

H^*(X) = H^*(X, \mathbf{Z}) / \mathrm{torsion}

를 비틀림을 modulo로 하는 X의 코호몰로지라고 하자. Λ를 계수로 갖는 '''작은 양자 코호몰로지'''는 다음과 같이 정의된다.

:

QH^*(X, \Lambda) = H^*(X) \otimes_\mathbf{Z} \Lambda.

그 요소는 다음의 합의 유한 합이다.

:

\sum_i a_i \otimes \lambda_i.

작은 양자 코호몰로지는 차수 부여된 R-가군이며, 다음의 식을 만족한다.

:

\deg(a_i \otimes \lambda_i) = \deg(a_i) + \deg(\lambda_i).

일반적인 코호몰로지 H*(X)는 QH*(X, Λ)에

a \mapsto a \otimes 1

를 통해 매립되며, QH*(X, Λ)는 H*(X)에 의해, Λ-가군으로 생성된다.

H*(X) 안의 순수한 차수의 임의의 두 코호몰로지류 a, b와

H_2(X)

안의 임의의 원 A에 대해, (a ∗ b)_A를 다음의 식을 만족하는 H*(X)의 유일한 원으로 한다.

:

\int_X (a * b)_A \smile c = GW_{0, 3}^{X, A}(a, b, c).

(우변은 종수가 0이며, 3-점의 그로모프-위튼 불변량)

:

a * b := \sum_{A \in H_2(X)} (a * b)_A \otimes e^A.

로 정의하면, 선형성에 의해 문제 없이 정의할 수 있는 Λ-가군의 사상으로 확장할 수 있다.

:

QH^*(X, \Lambda) \otimes QH^*(X, \Lambda) \to QH^*(X, \Lambda)

。

이를 '''작은 양자 컵 곱'''이라고 부른다.

클래스 A = 0 안의 유일한 의사 정칙 곡선은 상수 사상이며, 그 상은 점이 된다. 이로부터 다음 식이 유도된다.

:

GW_{0, 3}^{X, 0}(a, b, c) = \int_X a \smile b \smile c;

다시 말해,

:

(a * b)_0 = a \smile b.

이처럼, 양자 컵 곱은 통상적인 컵 곱을 포함하고 있으며, 통상적인 컵 곱을 0이 아닌 클래스 A로 확장한다.

일반적으로, (a ∗ b)_A 의 푸앵카레 쌍대는 a와 b의 푸앵카레 쌍대를 통해 클래스 A의 의사 정칙 곡선의 공간에 대응한다. 따라서, 통상적인 코호몰로지는 a와 b가 교차하는 것은 하나 또는 여러 점에서 교차할 때에 한정되지만, 양자 코호몰로지는 의사 정칙 곡선으로 연결되어 있는 모든 곳에서 a와 b의 0이 아닌 교차로 세어 올린다. 노비코프 환(Novikov ring)은 바로 모든 클래스 A의 교차 정보를 기록하기에 충분한 크기의 체계이다.

순수 차수 ''a'', ''b''에 대해, 다음이 성립한다.

:

\deg (a * b) = \deg (a) + \deg (b)

:

b * a = (-1)^{\deg (a) \deg (b)} a * b.

소 양자 컵 곱은 분배적이며 Λ-쌍선형이다. 항등원

1 \in H^0(X)

는 소 양자 코호몰로지를 위한 항등원이기도 하다.

소 양자 컵 곱은 또한 결합적이다. 이는 그로모프-위튼 불변량에 대한 접착 법칙의 결과이며, 어려운 기술적 결과이다. 이는 그로모프-위튼 퍼텐셜 (종수-0 그로모프-위튼 불변량에 대한 생성 함수)이 WDVV 방정식으로 알려진 특정 3차 미분 방정식을 만족한다는 사실과 같다.

교차 쌍

:

QH^*(X, \Lambda) \otimes QH^*(X, \Lambda) \to R

는 다음을 통해 정의된다.

:

\left\langle \sum_i a_i \otimes \lambda_i, \sum_j b_j \otimes \mu_j \right\rangle = \sum_{i, j} (\lambda_i)_0 (\mu_j)_0 \int_X a_i \smile b_j.

(아래첨자 0은 ''A'' = 0 계수를 나타낸다.) 이 쌍은 결합성

:

\langle a * b, c \rangle = \langle a, b * c \rangle.

를 만족한다.

기초가 되는 환 R이 '''C'''일 때, 벡터 공간 QH*(X, Λ)의 짝수 차수 부분 H는 복소 다양체로 간주될 수 있다. 작은 양자 컵 곱은 H 위의 가환적인 곱으로 잘 제한될 수 있다. 따라서, 합리적인 전제를 설정하면, 교차 쌍

\langle, \rangle

을 갖는 H는 프로베니우스 대수가 된다.

양자 컵 곱은 접번들 TH 위의 접속으로 간주될 수 있으며, '''두브로빈 접속'''이라고 불린다. 그러면, 양자 컵 곱의 가환성과 결합성은 이 접속 위의 뒤틀림이 0이라는 조건과 곡률이 0이라는 조건에 각각 대응된다.

3. 2. 큰 양자 코호몰로지

임의의

a\in U

에 대하여, 다음과 같은 '''큰 양자 코호몰로지 곱'''을 정의한다.

:

*_a\colon U\times U\to U

:

\langle x*_ay,z\rangle= \sum_{n=0}^\infty \sum_{\alpha\in\operatorname H_2(M;\mathbb Z)/\operatorname{Tors}(\operatorname H_2(M;\mathbb Z))} \frac1{n!}\operatorname{GW}_{0, n + 3}^{X,\alpha}(x, y, z,\overbrace{a, \ldots, a}^n)

그렇다면,

(U,*_a)

를 '''큰 양자 코호몰로지'''(big quantum cohomology^영어)라고 한다. 작은 양자 코호몰로지는 종수 0의 그로모프-위튼 불변량 가운데 일부만 포함하지만, 큰 양자 코호몰로지는 모든 종수 0의 그로모프-위튼 불변량을 포함한다.

작은 양자 코호몰로지는 3점 그로모프-위튼 불변량에 대한 정보만 가지지만, 큰 양자 코호몰로지는 모든 (n ≧ 4) n점 그로모프-위튼 불변량에 대한 정보를 가진다. 일부 다양체의 세는 기하학적 정보를 얻으려면 큰 양자 코호몰로지를 사용해야 한다. 작은 양자 코호몰로지는 물리학에서 3점 상관 함수에 해당하며 큰 양자 코호몰로지는 모든 n점 상관 함수에 해당한다.

4. 양자 코호몰로지의 성질

작은 양자 컵 곱은 분배 법칙을 만족시키고, Λ-쌍선형이다. 단위원 $1 \in H^0(X)$ 는 작은 양자 코호몰로지의 단위원이다. 작은 양자 컵 곱은 결합 법칙을 만족하는데, 이는 그로모프-위튼 불변량의 꿰매기 규칙의 결과이다. 이는 그로모프-위튼 포텐셜이 WDVV 방정식으로 알려진 특정 3차 미분 방정식을 만족한다는 사실과 같다.

순수 차수를 갖는 ''a'', ''b''에 대해, 다음이 성립한다.

: $\deg (a * b) = \deg (a) + \deg (b)$

: $b * a = (-1)^{\deg (a) \deg (b)} a * b.$

5. 예시

복소수 사영 공간 $\mathbb{CP}^n$ 에 푸비니-슈투디 계량을 부여하면 콤팩트 켈러 다양체가 된다. 이 경우, 작은 양자 코호몰로지는 다음과 같이 주어진다.

: $\operatorname H^\bullet(\mathbb{CP}^n;\mathbb Z)=\mathbb Z[p,q]/(p^{n+1}-q)$

: $\deg p=2$

: $\deg q=2(n+1)$

여기서 $q\to0$ 이면 양자 코호몰로지가 고전적 코호몰로지로 수렴한다.

X를 표준 심플렉틱 형식(푸비니-슈투디 계량에 해당)과 복소 구조를 가진 복소 사영 평면이라 하고, $\ell \in H^2(X)$ 를 선 ''L''의 푸앵카레 쌍대라고 하면, 다음을 얻는다.

: $QH^*(X, \mathbf{Z}[q]) \cong \mathbf{Z}[\ell, q] / (\ell^3 = q).$

6. 응용

양자 코호몰로지는 위상 끈 이론에서 2차원 $\mathcal N=(2,2)$ 시그마 모형의 A-모형 위상 뒤틂의 손지기환으로 등장하며, A-모형과 B-모형 사이의 거울 대칭에 핵심적인 역할을 한다.

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